一则对南开大学《数学分析》上册1.3中提及的黎曼函数一些性质的探讨R(x)1/q当xp/q其中pq是互素的整数且q0R(x)0当x是无理数。1.R(x)是偶函数。证明若x∈Q令xp/qp∈Zq∈Zp,q)1则-x(-p)/q且有-p∈Z(-p,q)1故R(x)R(-x)1/q。若x∈R\Q则-x∈R\Q故R(x)R(-x)0。故x∈RR(x)R(-x)因此R(x)为偶函数。2.R(x)是有界函数其上确界为1下确界为0。证明若x∈Q令xp/qp∈Zq∈Zp,q)1则q1R(x)1/q∈(0,1]。特别地当x∈Z易知q1px若q≠1pxq则p,qxq,qq≠1则R(x)1。若x∈R\Q则R(x)0。故x∈RR(x)∈[0,1]因此R(x)是有界函数1和0分别是它的一个上界和一个下界。设R(x0)∈(0,1)x1∈ZR(x1)1R(x0)x2∈R\QR(x2)0R(x0)即R(x0)不是R(x)的上界或下界因此1和0分别是R(x)的上确界和下确界。3.R(x)是周期函数且最小正周期为1。证明先证1是R(x)的一个周期。若x∈Q令xp/qp∈Zq∈Zp,q)1则x1p/q1(pq)/q且有pq∈Z(pq,q)1故R(x1)R(x)1/q。若x∈R\Q则x1∈R\Q, 故R(x1)R(x)0。故x∈RR(x1)R(x)因此1是R(x)的一个周期。再证任何小于1的正数都不是R(x)的周期。令t∈(0,1)。考虑x∈Q的情况令xp/qp∈Zq∈Zp,q)1则R(x)1/q0。当t∈R\Q有xt∈R\Q则R(xt)0≠R(x)故t不是R(x)的周期。当t∈Q令tr/srs∈Zsrr,s)1有xt∈Q且xtp/qr/s(psrq)/qs。由于1rsr必不是s的倍数又q∈Z故一定存在至少一个q的取值使rq不是s的倍数事实上令q1即可。因为p∈Zps是s的倍数所以对于满足上述条件的qpsrq不是s的倍数即k∈Z(psrq)/qs≠k/q故R(xt)≠1/q。因而rs∈Z只要srr,s)1一定存在至少一组pqp∈Zq∈Zp,q)1使得当xp/qtr/s时R(xt)≠R(x)故t不是R(x)的周期。事实上对于每一个满足上述条件的qp均可取任意整数故这样的pq有无数组。因此t∈(0,1)t不是R(x)的周期。综上所述R(x)是周期函数它的最小正周期是1。ps连续性、可导性之类等我学清楚了再研究
