1、拉普拉斯变换是信号变换的一种方式和傅里叶变换类似傅里叶变换是把信号拆分成e^(-jwt)的形式傅里叶变换的结果F(jw0)就是指 e^(-jw0t)分量的大小。拉普拉式变换也是类似的不过拉普拉斯变换是把信号拆分成e^(-σt)*e^(-jwt)的形式拉普拉斯变换的结果F(s0) 就是指e^(s0t)分量的大小(s0σ0jw0)。不理解为什么几乎所有的资料都说拉普拉斯变换确实是可以理解为原信号乘以e^(-σt)再进行傅里叶变换很容易让人莫名其妙为什么原信号要乘以e^(-σt)原信号乘以e^(-σt)还是它自己吗这样分析有啥用呢当然要理解拉普拉斯变换这些问题肯定要知道为什么但是确实让初学者一头雾水莫名奇妙。2、那既然有了傅里叶变换为什么还需要拉普拉斯变换呢前文提到傅里叶变换和拉普拉斯变换本质上都是将信号拆分但是傅里叶变换是将信号拆分成不同频率的三角函数利用傅里叶变换可以分析出信号不同频率分量的大小从而传递或处理信息。但是拉普拉斯变换则不是这个目的拉普拉斯变换相当于按照另一套规则进行拆分同样也会得到不同频率分量的大小但是这个频率分量是经过衰减的问题是该怎么利用这个衰减后的频率分量呢实际上拉普拉斯变换一般并不直接利用这些衰减频率分量这些衰减的频率分量只是一个中间过程。我们再进一步的说明我们从拉普拉斯变换产生的若干个衰减的频率分量中任意取出一个并将这个衰减后的频率分量作为一个LTI系统的输入那么会得到一个输出。那么很显然这个输出是衰减后的频率分量的对应输出 但是由于是线性系统我们又知道衰减量那么就可以推断出未衰减的这个频率分量本来的输出应该是多少。我们依次把所有的衰减之后的频率分量都输入到此系统然后将每个频率分量对应的输出相加最终就可以得出这个系统的对应原信号的输出是什么。当然我们自然而然的就会有一个疑问为什么不直接把没衰减的频率分量作为系统的输入呢这是因为没衰减的频率分量其实对应的就是傅里叶变换而很多信号没办法使用傅里叶变换进行分析得到没有衰减的频率分量但是这些不能进行傅里叶分析的信号经过衰减后就可以进行傅里叶变换来得到不同频率衰减后的频率分量了。3、说到这里其实还是存在一个非常明显的问题为什么要这么执着的将信号拆分成不同的频率分量呢,不能直接使用原信号进行分析吗答案是当然可以但是拉普拉斯变换和傅里叶变换可以简化分析。首先我们举一个最简单的系统的例子y(t)f(t)对于这个系统来说根本不需要进行任何拉普拉斯变换/傅里叶变换输入是什么输出就是什么。但是如果是另外一个系统呢a*y(t)b*y(t)c*y(t)d*x(t) e*x(t)至少一眼看过去就算知道了输入x(t)是什么也没办法知道输出y(t)是什么。此时如果进行拉普拉斯变换就可以把这个系统的输入输出关系的求解问题大大简化。利用拉普拉斯变换求解微分方程的过程比较长具体的过程在此不作介绍但是有必要说一下拉普拉斯变换为什么会简化微分方程的求解。这是因为指数函数的形式e^at很方便进行计算比如积分、微分、相乘等计算指数函数相较于其他形式的函数来说运算起来十分简单而拉普拉斯变换和傅里叶变换都是指数的形式(利用欧拉公式将三角函数转换成了复指数的形式)。利用指数函数的性质我们可以推导出拉普拉斯变换和傅里叶变换的很多性质其中就包含微分性质而微分性质就十分适合用来求解微分方程。另外拉普拉斯变换甚至不需要求出逆变换只根据系统函数的性质就可以得到很多系统的信号比如如果系统函数的所有极点位于左半平面则说明系统是稳定的。根据系统的因果特性、稳定性和极点等能够推导致系统的收敛域从而得到系统的响应。虽然很多教材资料都说由收敛域可以得到系统的稳定性、因果性等信息但要搞清楚这相当于是倒推而不是正推。对于拉普拉斯变换而言相同的象函数可能对应两个不同的原函数需要借助收敛域才能判断原函数是什么而这个收敛域需要可以根据已知信息推导出来比如因果性、稳定性等。这个其实也很好理解当求解一个微分方程时这个微分方程可能有两个解但是我们给出一些限定条件比如说这个解是因果信号我们自然就能排除掉非因果信号的解。总的来说拉普拉斯主要应用于控制系统主要是用来分析系统的特性而不直接利用拉普拉斯变换的结果。而傅里叶变换常用于通信中会直接使用傅里叶变换的结果来进行信息传递。
