简介这份资源为许昌学院《高等数学》两套期末试卷A、B卷PDF合集面向本科一学期修读高等数学的学生、备考者及任课教师可用于期末复习自测、题型熟悉与教学命题参考。试卷涵盖极限计算、法线方程与隐函数求导、微分方程通解、定积分几何应用、罗尔定理与拉格朗日中值定理、反常积分敛散性判定、原函数与不定积分、函数连续性与导数定义、高阶无穷小比较等核心考点题型包括填空、单项选择、判断、计算与证明五类计算与证明题均要求写出主要步骤便于自测时检验运算与推理的规范性。资源包共1个文件为282KB的PDF文档内含两套完整试题及分值分布说明可直接打印或电子作答。目前已有1227人学习下载适合在期末冲刺阶段按卷限时练习、对照知识点查漏补缺。1. 两套 A/B 卷的题型骨架从 30 分填空到 14 分证明的能力分层期末周前两周把许昌学院 2012-2013 学年第一学期这套《高等数学》A、B 卷摊开对比会看到一份很规整的排版两卷题型结构完全对齐——填空 10 空共 30 分、单选 5 题共 10 分、判断 5 题共 10 分、计算 6 题共 36 分、证明 2 题共 14 分但同一个位置上的考点被换掉了。A 卷填空第 3 题求y ln x在(1,0)处的法线方程B 卷同位置换成切线方程A 卷计算第 1 题考(tan x − sin x)/sin³x的三阶差B 卷降成sin 2x / sin 3x的一阶等价替换。结构同构、考点错位意味着两套卷可以互相做答案校验任何一道题解出来的方法都能在另一卷找到参数被改动过的孪生题。它适合期末串讲的助教也适合需要在一周内把极限、导数、积分、微分方程四条线连起来过一遍的人。2. 极限与无穷小比较含参极限定系数与等价替换红线2.1 含参极限先比最高次项A 卷填空第 1 题、B 卷单选第 1 题是同一类分子分母为多项式或幂指结构极限存在且为有限值反求参数a。扫描件里题干粘连严重但结构清楚形如lim(x→∞) (x² a·x 2)/(x² − x 1) L。处理这类题只有一条硬规则极限存在且为有限非零常数要求分子分母最高次幂相同极限值等于最高次项系数之比。若分母次数高于分子极限为 0分子次数高于分母结果发散到无穷。反求a的步骤就是先把分子分母同除以x^n再看剩余项。import sympy as sp x, a sp.symbols(x a, realTrue) expr (x**2 a*x 2) / (x**2 - x 1) # 直接求 x - oo 的极限sympy 会按最高次项系数比给出结果 lim_val sp.limit(expr, x, sp.oo) print(sp.simplify(lim_val)) # 结果为 1与 a 无关 # 若题目给定极限值为 2可反解 a sol sp.solve(sp.Eq(lim_val, 2), a) print(sol)sympy 的limit对有理函数默认走 gruntz 算法比手算更稳。注意表达式里a是符号求极限阶段它被当作常数处理只有进入sp.solve才变成未知量。参数说明sp.oo表示正无穷sp.Eq(lhs, rhs)构造等式sp.solve解方程。若题干是x → 0把第三个参数换成0需要单侧极限时写成0, -。2.2 等价无穷小替换的三条红线A 卷填空第 2 题把lim(x→0) sin x / x与lim(x→∞)(11/x)^x拼在一起前者是基本极限 1后者是 e 的定义式答案1 e。B 卷填空第 1 题更简单sin 2x / sin 3x直接换成2x/3x 2/3。看似送分但判断题里埋了替代失效的场景比如把sin 2x / x在x 0处的可去间断点说成跳跃间断点就是同一批概念被反着用。等价关系成立条件失效场景试卷对应sin u ~ uu → 0出现在加减法项里直接替换A 卷计算 11 − cos u ~ u²/2u → 0与 sin u 相减时需保留到 u³ 项A 卷计算 1ln(1u) ~ uu → 0u 本身含待定参数时系数会被吞A 卷证明 1(1u)^α − 1 ~ αuu → 0α 随 x 变化时先固定 αB 卷判断 1tan u − sin u ~ u³/2u → 0只能整体替换不能拆开再相减A 卷计算 1第一条红线是加减法内部的因子不能单独替换。A 卷计算第 1 题lim(x→0)(tan x − sin x)/sin³x如果写成tan x ~ x、sin x ~ x分子直接变成 0得出的结论必然错。正确做法是先提出sin x再处理(1 − cos x)/cos x这一项。import sympy as sp x sp.symbols(x, realTrue) expr (sp.tan(x) - sp.sin(x)) / sp.sin(x)**3 print(sp.limit(expr, x, 0)) # 1/2 # 展开验证tan x - sin x 的最低非零阶是 x^3 print(sp.series(sp.tan(x) - sp.sin(x), x, 0, 5))series的输出里x³/2是首个非零项x和x²的系数都是 0这正好解释了等价替换必须整体进行而不能拆项。参数说明sp.series(f, x, 0, 5)表示在 x 0 处展开到 5 阶阶数给少了看不到首个非零项给多了只是多打印几行不影响结论。2.3 幂指函数取对数后的处理lim(1u)^v型统一取对数用ln(1u) ~ u把幂指结构压成乘积v·u。此时 u 必须是趋于 0 的无穷小且 v 本身也可能是无穷大两个趋向要分开写清楚。B 卷单选第 2 题把lim(x→0)(1x)^{1/x}和lim(x→0⁻) sin 2x / |x|放在一起前者是 e后者在左半轴时|x| −x左极限为 −2所以答案是两者相加的形式原卷选项以纸质版为准。提示取对数后如果 v 也趋于无穷v·ln(1u)要按乘积极限处理不能把ln(1u)换成 u 之后不再管 v 的散度否则会漏掉指数级的差异。3. 导数与微分法线斜率、隐函数二阶导与中值定理定点3.1 法线方程是切线斜率的负倒数A 卷填空第 3 题y ln x在点(1,0)处的法线方程。步骤三步走求导得y 1/x代入x 1得切线斜率k 1法线斜率k_n −1/k −1。点斜式y − 0 −1·(x − 1)整理为x y − 1 0。B 卷填空第 3 题是同一函数同一位置的切线方程答案y x − 1两题只差一个负倒数是最省事的对照校验。import sympy as sp x sp.symbols(x, positiveTrue) y sp.ln(x) k sp.diff(y, x).subs(x, 1) # 切线斜率 1 kn -1 / k # 法线斜率 -1 normal sp.Eq(y.subs(x, 1) - 0, kn * (x - 1)) print(sp.simplify(normal)) # 化简即可得到法线方程参数说明sp.diff(y, x)求一阶导.subs(x, 1)做数值代入positiveTrue声明定义域为正避免 ln 在负半轴报错。三种边界情况要分清切线斜率切线形态法线形态处理方式k 存在且非零斜线斜率 −1/k点斜式直接写k 0水平线 y y₀竖直线 x x₀不能套负倒数导数不存在可能为竖直线水平线或不存在回到导数定义判断注意法线斜率是负倒数这个结论只在切线斜率存在且非零时成立。A 卷判断题里出现过左右极限存在即连续这类表述和这里的边界情况是同一个思路——条件没凑齐结论就不能直接搬。3.2 隐函数求二阶导别对一阶导结果硬求导A 卷计算第 2 题给出由方程确定的隐函数OCR 后形如x² cos y − y 0一类结构要求一阶导和二阶导。最常见的错误是求出dy/dx之后直接对 x 求导忘记 y 仍然是 x 的复合函数。import sympy as sp x sp.Symbol(x) y sp.Function(y) eq x**2 sp.cos(y(x)) - y(x) # 等式两边同时对 x 求导得到含 Derivative(y(x), x) 的方程 d_eq sp.diff(eq, x) dy sp.solve(sp.Eq(d_eq, 0), sp.Derivative(y(x), x))[0] print(dy/dx , sp.simplify(dy)) # 二阶导把一阶导结果代回表达式再对 x 求导 d2y sp.diff(dy, x).subs(sp.Derivative(y(x), x), dy) print(d2y/dx2 , sp.simplify(d2y))核心在.subs(sp.Derivative(y(x), x), dy)这一步对一阶导求导后表达式里会再次冒出y必须把已经解出的dy代回去消掉否则结果里会残留未求值的导数符号。参数说明sp.Function(y)声明 y 是 x 的抽象函数sp.Derivative表示未求值的导数符号sp.solve的第二个参数指定求解目标。3.3 罗尔定理和中值定理的 ξ 怎么定A 卷单选第 3 题问f(x) x³ − 3x在闭区间上满足罗尔定理的 ξ选项给了 0、3/2、3、2。先提醒一点罗尔定理的前提是区间端点函数值相等如果端点值不等考的实际是导数零点而非罗尔定理本身。解f(x) 3x² − 3 0得x ±1落在区间内部的是x 1。扫描件里的区间端点位数可能有出入遇到选项与结论不符时以纸质原卷为准。B 卷填空第 5 题干净得多y x²在[1,2]上满足拉格朗日中值定理套公式f(ξ) [f(2) − f(1)]/(2 − 1) 3即2ξ 3ξ 3/2。定理前提条件结论试卷对应罗尔定理[a,b] 连续(a,b) 可导f(a) f(b)存在 ξ 使 f(ξ) 0A 卷单选 3拉格朗日[a,b] 连续(a,b) 可导存在 ξ 使 f(ξ) [f(b) − f(a)]/(b − a)B 卷填空 5导数定义—f(x₀) lim [f(x) − f(x₀)]/(x − x₀)B 卷计算 1import sympy as sp x, xi sp.symbols(x xi, realTrue) f x**2 slope (f.subs(x, 2) - f.subs(x, 1)) / (2 - 1) print(sp.solve(sp.Eq(sp.diff(f, x).subs(x, xi), slope), xi)) # [3/2]参数说明sp.solve(sp.Eq(...), xi)的第二个参数明确指定求解变量多符号表达式里不写这个参数容易解错对象。3.4 分段点求左右导数只能回到定义B 卷计算第 1 题给出分段函数f(x) x² (x ≤ 1)、f(x) 2x − 1 (x 1)要求x 1处的左右极限与左右导数。左右极限都等于 1函数在该点连续。导数不能拿求导公式直接代必须用定义f_-(1) lim(x→1⁻) [x² − 1] / (x − 1) lim(x→1⁻)(x 1) 2 f_(1) lim(x→1⁺) [(2x − 1) − 1] / (x − 1) 2import sympy as sp x sp.symbols(x, realTrue) left sp.limit((x**2 - 1) / (x - 1), x, 1, -) # 2 right sp.limit(((2*x - 1) - 1) / (x - 1), x, 1, ) # 2 print(left, right)sp.limit的第四个参数-和分别指定左极限与右极限。B 卷判断题里左右极限均存在是连续的充要条件是错的因为还要求极限值等于函数值同理分段点连续只说明左右极限一致可导还需要左右导数存在且相等。4. 积分计算与反常积分收敛凑微分套路与 p 积分基准4.1 不定积分三板斧A 卷计算第 4、5 题和 B 卷计算第 3、4 题覆盖了三种最典型的不定积分凑微分、分部积分、三角代换。三角代换看根号形式B 卷计算第 3 题∫ dx / (x√(x²−16))属于√(x²−a²)型令x 4 sec t则dx 4 sec t·tan t dt√(x²−16) 4 tan t被积式化简成(1/4)dt积分得t/4 C回代t arcsec(x/4)即可。分部积分看乘积结构B 卷计算第 4 题∫ x² e^{2x} dx是多项式乘指数把多项式设成 u、指数设成 dv连做两次分部。import sympy as sp x sp.symbols(x, positiveTrue) print(sp.integrate(sp.sqrt(1 x**2) / x, x)) # 凑微分型 print(sp.integrate(x**2 * sp.exp(2*x), x)) # 分部积分型 print(sp.integrate(1 / (x * sp.sqrt(x**2 - 16)), x)) # 三角代换型输出里若带 log 与 sqrt 的混合项说明回代路径正确把结果对 x 求导看是否还原被积函数是最快的自检手段。参数说明sp.integrate(f, x)求不定积分sp.integrate(f, (x, a, b))求定积分第三个参数位置写sp.oo就是反常积分。4.2 定积分的几何应用和对称性A 卷填空第 8 题求直线y x与抛物线y x²围成的面积先定交点x 0, 1再用上减下S ∫₀¹ (x − x²) dx 1/2 − 1/3 1/6。B 卷填空第 8 题多加了第三条直线x 1但积分区间本来就被交点锁在[0,1]答案仍是1/6这是两卷互校的典型例子。题型积分区间被积函数结果直线与抛物线围成[0,1]x − x²1/6A 卷定积分 ∫₀³ x√(9−x²) dx[0,3]x√(9−x²)9A 卷判断 ∫₋₁¹ sin x/(1x²) dx[−1,1]奇函数0B 卷化简 ∫₀¹ (2x1)/(x1) dx[0,1]2 − 1/(x1)2 − ln 2import sympy as sp x sp.symbols(x, realTrue) print(sp.integrate(x - x**2, (x, 0, 1))) # 1/6 print(sp.integrate(x * sp.sqrt(9 - x**2), (x, 0, 3))) # 9 print(sp.integrate(sp.sin(x)/(1 x**2), (x, -1, 1))) # 0 print(sp.integrate((2*x 1)/(x 1), (x, 0, 1))) # 2 - log(2)∫₀³ x√(9−x²) dx用凑微分最快令u 9 − x²du −2x dx整体变成(1/2)∫₀⁹ √u du 9。A 卷判断题里∫₋₁¹ sin x/(1x²) dx 0是对的依据就是奇函数在对称区间上积分为零这里奇函数除以偶函数仍是奇函数。B 卷计算第 5 题的套路是把分子拆成2(x1) − 1拆开后被积函数变成常数项加简单分式比硬凑更省时间。4.3 反常积分的 p 积分基准A 卷选择第 4 题和 B 卷选择第 5 题都在问下列反常积分收敛的是选项是∫₀^∞ x dx、∫₁^∞ 1/x dx、∫₁^∞ 1/x³ dx、∫₁^∞ x^{1/3} dx之类的组合。判断依据只有一条 p 积分基准∫₁^∞ 1/x^p dx在p 1时收敛、p ≤ 1时发散∫₀¹ 1/x^p dx在p 1时收敛、p ≥ 1时发散。所以∫₁^∞ 1/x³ dx收敛∫₁^∞ 1/x dx发散∫₀^∞ x dx无界且次数为正同样发散。import sympy as sp x sp.symbols(x, positiveTrue) print(sp.integrate(1/x**3, (x, 1, sp.oo))) # 1/2收敛 print(sp.integrate(1/x, (x, 1, sp.oo))) # oo发散 print(sp.integrate(x**2 * sp.exp(-2*x), (x, 0, sp.oo))) # 1/4收敛注意sympy 返回oo表示积分发散如果返回含AccumBounds或未求值形式的结果说明它没找到闭合形式这类题要回到判别法手算别把符号计算器的算不动当成收敛。A 卷证明第 2 题要求证明反常积分收敛方法就是找一个可积的控制函数。以∫₀^∞ x² e^{−2x} dx为例当 x 充分大时e^{2x} ≥ x⁴于是x²e^{−2x} ≤ 1/x²而∫₁^∞ 1/x² dx收敛由比较判别法得原积分收敛。B 卷选择第 5 题里的∫₀¹ 1/x dx是另一个方向的例子瑕点在 x 0p 1 落在发散区间。4.4 变限积分求导A 卷填空第 7 题是d/dx ∫₀^{x²} 1/(1sin t) dt套变限积分求导公式d/dx ∫ₐ^{u(x)} f(t)dt f(u(x))·u(x)结果是2x/(1 sin x²)。B 卷单选第 4 题考的是同一套公式的不同包装选项里出现了2sin x、2sin x·cos x这类形式判断时先看上限函数是什么再套公式。import sympy as sp x, t sp.symbols(x t, realTrue) F sp.integrate(1/(1 sp.sin(t)), (t, 0, x**2)) print(sp.simplify(sp.diff(F, x))) # 2*x/(sin(x**2) 1)参数说明sp.integrate(f, (t, 0, x**2))的上限含 xsympy 会先算原函数再代入sp.diff(F, x)再对 x 求一层导。如果原函数算不出来直接手写f(u(x))·u(x)更快注意上限是x²时链式因子u(x) 2x不能漏漏掉就是最常见的一分不得。5. 微分方程通解与证明题把答案交给 dsolve 反查5.1 二阶常系数线性方程的特征根判据A 卷填空第 9 题y − y − 6y 0B 卷填空第 9 题y − 2y 2y 0。解法固定写特征方程r² pr q 0按判别式分三种情况。判别式特征根通解形式试卷对应Δ 0r₁ ≠ r₂ 实根C₁e^{r₁x} C₂e^{r₂x}A 卷 y − y − 6y 0Δ 0r₁ r₂ r(C₁ C₂x)e^{rx}常见变形题Δ 0α ± βie^{αx}(C₁cos βx C₂sin βx)B 卷 y − 2y 2y 0A 卷特征方程r² − r − 6 0的根是 3 和 −2通解y C₁e^{3x} C₂e^{−2x}。B 卷特征方程r² − 2r 2 0的根是1 ± i通解y e^x(C₁cos x C₂sin x)。共轭复根出现时实部写进指数、虚部写进三角两个常数系数都保留。import sympy as sp x sp.Symbol(x) y sp.Function(y) r sp.Symbol(r) print(sp.solve(r**2 - r - 6, r)) # [3, -2] eq_a sp.Eq(y(x).diff(x, 2) - y(x).diff(x) - 6*y(x), 0) eq_b sp.Eq(y(x).diff(x, 2) - 2*y(x).diff(x) 2*y(x), 0) print(sp.dsolve(eq_a, y(x))) print(sp.dsolve(eq_b, y(x)))sp.dsolve返回的常数是C1、C2与手写通解一一对应。如果结果里出现exp(x*(1 - I))这类复数指数用sp.rewrite(sp.exp, sp.sin)或sp.expand_complex转成三角函数形式再核对别急着判错。5.2 可降阶方程与一阶线性方程A 卷填空第 10 题y sin x、B 卷填空第 10 题d²y/dx² x²右端只含自变量连续积分两次即可。A 卷结果y −sin x C₁x C₂B 卷结果y x⁴/12 C₁x C₂。最容易丢分的是第二次积分时把C₁x写成常数C两个常数必须独立。B 卷判断题里y sin x 的通解是 y −sin x C就是错在这一步。import sympy as sp x sp.Symbol(x) y sp.Function(y) print(sp.dsolve(sp.Eq(y(x).diff(x, 2), sp.sin(x)), y(x))) print(sp.dsolve(sp.Eq(y(x).diff(x, 2), x**2), y(x))) print(sp.dsolve(sp.Eq(y(x).diff(x) 2*x*y(x), 4*x), y(x))) # 2 C1*exp(-x**2)B 卷计算第 6 题dy/dx 2xy 4x是一阶线性方程积分因子e^{∫2x dx} e^{x²}两边乘上后左边凑成(y·e^{x²})积分得y·e^{x²} 2e^{x²} C通解y 2 Ce^{−x²}。通解里的常数 2 是特解Ce^{−x²}是齐次解两部分拆开看结构更清楚。5.3 证明题的验证脚本证明题分两类。不等式证明走构造辅助函数加单调性令F(x) 左式 − 右式先验证F(0) 0再证F(x) 0。恒等式证明走导数恒为零则函数为常数B 卷证明第 1 题的arcsin x arccos x π/2令F(x)为左式F(x) 1/√(1−x²) − 1/√(1−x²) 0代入x 0得F(0) π/2。这里有个前提定义域[−1,1]内不能跨过不连续点所以只能在该区间上使用这个结论。零点存在性证明用零点定理构造连续函数后在两点上算符号。用脚本扫符号比手算快得多import sympy as sp x sp.Symbol(x, realTrue) f x**4 - 3*x 1 for v in [0, 0.5, 1, 1.5, 2]: print(v, f.subs(x, v).evalf())输出里一旦出现符号翻转翻转点之间的区间就是零点存在区间据此写出存在 ξ 使 f(ξ) 0即可。evalf()把符号结果转成浮点便于肉眼扫符号需要精确判断时改用sp.sign(f.subs(x, v))或sp.N(f.subs(x, v), 5)指定有效位数避免浮点误差把临界值判反。对于 A 卷那道含对数的不等式证明同样的脚本可以用来做反向验证把候选辅助函数输进去画一遍导数符号确认它在你打算使用的区间上确实单调。本文还有配套的精品资源点击获取
